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围棋中的算术知识总结
作者:arhat
发表时间:2007-02-20
更新时间:2007-02-20
浏览:1831次
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2007年2月7日到20日,把20年前对围棋的数学原理的探讨重新阐述了一遍。

围棋、数学、对弈软件初探

一、官子的价值
我们在局部官子价值计算(根据棋形)的基础上,按照全盘收官利益
最大化的目标来寻找双方的收官本手(纳什均衡这种时髦的观念先扔
掉)。

公理:
开局第一先的价值为二倍贴目。
公理:
价值为N目的官子的个数为单数和双数的概率各为1/2。

定理:
一组双后官子A1,A2,...,
其各处价值呈递减数列N(1),N(2),...,2,1,
从A1开始轮流收官时,一先的总价值约为f(A1)=N(1)/2
证明:(略)

定理:
一处单先官子的价值也即是逆收的价值是双后官子的2倍。
证明:(略)

定理:不走最大的后手定型方式,先手定型后占据另外一处大场的行为成为抢先,
抢先的价值为此处官子损失和一先的价值的总和。
假如A1处官子占到和没占到的局面为a11和a12,A2处为a21和a22,
A1处的损实利争先手的走法的局面为a13,那么排列如下三种收官情形,
a11,a22(1)
a12,a21(2)
a13,a21(3)
(1)式是正常先手收官,(2)是正常的对方先手收官,(3)是A1处争先的收官法
,抢到了A2。
(3)比(1)是否更有利,就要看a11-a13的损失和先手争得a2/2哪个更大。
证明:(略)

带有后继着法的双后官子的讨论
对于只有一种双方先走的区别的官子,我们称为一阶官子,例如双后,单先,双先
官子。
对于某一方(例如黑方)存在后继走法的官子,我们称为二阶官子,
可用A(m1,m2)来表示,表示黑方走到A处的m1目价值之后,还有走到m2目价值的机会

定理:A(m1,m2)的价值是跟盘面其他官子特别是最大官子有关的,也跟m1和m2的相
对大小有关。
假设盘面上其他官子价值按照大小顺序依次为N(1),N(2),N(3),...。
当m2比盘面最大官子N(1)都大时,此官子A转化为单先m1的官子;
m2 >= 2m1时,A(m1,m2)的价值变成单先m1,可折合为双后官子2m1。
m2 < 2m1时,A(m1,m2)的价值约是双后m1+m2/2;
证明思路:
当m2大于最大官子时,任何时候走A处都意味着对方必然跟着应,成为单先官子m1。
如果m2 > 2m1,那么当官子N(i)和N(i+1)存在,使得N(i+1) <= m2 < N(i)时,
收官走到N(i)之后才应该去抢收官子A。
例:假如官子价值是(4,16),即第一步得4目,此后有16目后手利益,那么收A处官
子的时机是在16目以上官子都走完的时候,而对方逆收则官子受损,所以这个官子
成为单方面的权力。
结论:
Ni = max(M2,M1+M2/2)时,应当换着走m1。
如果m2 > m1+m2/2,也就是m2 > 2m1,
此时若存在N(i)使得N(i) > M2 > N(i+1)
黑在走完N(i)时随时可以走M1,白方必然补M2,于是M1成为黑方单先官子。
此官子必然被m1走到,不会被逆收。
m2 < 2m1时,A(m1,m2)的价值约是双后m1+m2/2;此情况的证明略。

一个重要推论:
一个存在后继利益的A(m1,m2)型官子,它的收官类型应如此判断:
m2 > 2m1时,是黑方单先m1目官子,在盘面上官子小于m2时可以收到;
m2 < 2m1时,是双后官子,价值为m1 + m2/2目。
这样就可以有数据理由来判断盘面上遇到对方先手“便宜”定型时的复杂棋形,
这里是不是黑方单先?什么情况下白方乐意逆收?

二阶官子:
前面已经谈到,如果后继手段超过当前手段价值的二倍,
这个地方将从二阶官子退化为一阶单先官子。
这个原则可以用来整理棋盘上所有能够发现的手段的优先次序。
对于不能化为单先和双先的二阶官子,其价值又怎样计算呢?
答案:对于双方都不能一步完成全部变化,还存在后继着法的二阶双后官子,
我们用A(m1,m2,m3)来记录,假设m2为黑方的后继利益,m3为白方的后继利益。
可以沿用前面对于(m1,m2)型官子的研究推定,
m2 >= 2m1 > m3时,本官子成为黑方先手m1目官子;
m3 >= 2m1 > m2时,本官子成为白方先手m1目官子;
m2 >= 2m1而且m3 >= 2m1时,本官子成为双方先手m1目官子。
m2 > m3时,黑方容易抢到;m3 > m2时,白方容易抢到。
当m2 < 2m1而且m3 < 2m1时,此处官子成为双后官子,价值为m1+m2/2+m3/2目。

高阶官子:
对于三阶以上的后手官子,同样要用折半法去附加后继利益的1/4,1/8等等。

凡是遇到后继利益超过当前利益的二倍时,应视为收官的终止点,记为单先
或双先,一般不会走到那么大的后继利益了。只有盘面上后手官子的分布很
不均匀的时候,这个判读才会失效。

二、打劫的劫材
劫材计算公式
X+Y=K(K为打劫的价值)
X+Y=K+W(W为劫胜方的先手的价值)
证明:(略)
(我以后会配上打劫和劫材以及盘面官子的关系说明图。)
普通的围棋教材里的1/2,1/3和2/3的说法,那还只不明白“一先”的价值时的笼统
直觉,并不正确,将打劫的先后手结果和盘面先手的价值一起考虑才是正确的。

三、其他
1、对局过程的局部“官子论”
推论:从黑第一着开始的对局中,每一个回合的一先的价值呈现递减趋势。
除非是某一方失误,不会在盘面上制造出巨大的一先价值。
推论:优势方将要尽量把争夺细碎化以突出优势不可动摇。
推论:劣势方要尽量制造巨大折冲(成空、破空机会,成活、杀棋机会,大型对杀
)以争取翻盘。
2、最佳着法的存在性
规则:禁止同形反复。
定理:盘面情况的总数是有限的。
定理:即使存在大片提子后继续落子,存在打劫,棋局的总数是有限的。
定理:双方的合理对弈存在终局,并且可以无争议的定出胜负。
定理:假定双方不使用骗着,不为了避免小胜小负而赌复杂的大胜负的话,
从开局第一着开始,存在双方的各自最佳策略。
由此,可知通过软件或者人脑计算双方的最佳着手至少在理论上是可行的。
将对局过程分析成局部官子,再把所有官子全盘考虑最佳次序,这就是一种
计算思路。

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