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歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
[版面:散文.原创文学板][首篇作者:cucuwning] , 2013年04月01日06:41:08 ,1840次阅读,21次回复
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发信人: cucuwning (cucuwning), 信区: Prose
标  题: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  1 06:41:08 2013, 美东)

这章是挂羊头卖狗肉的一章,里面有数学,有历史,有歪写,先把它放这儿,下一章回
归科学家系列。

零.引子
                    音乐是形而上学的数学练习。
                                                  ---莱布尼兹

我知道大部分读者是理工科出身,一提起哲学就是马克思主义哲学,一提起形而上学就
是“辩证法”的对立面。大学里的哲学课(若干年前),除了马哲,还有毛泽东思想和
邓小平理论,但它们都是马克思主义哲学和中国社会实践结合的产物。我可以很负责的
说一句,哲学不止马哲这一种,形而上学也并非就是孤立静止片面地看问题。莱布尼兹
说这话的时候马克思还不知道在哪,彼时的形而上学还是第一哲学,是至高无上的。对
于这句话我的理解是音乐的本质是数学。我并不赞同这句话,作为人类精神世界最灿烂
的果实之一,伟大的音乐永远也不可能产生于数学上的推导,因为感情是推不出来的,
如果有一天所有音乐都是计算机生成的,那音乐就不再是人类的思想精华,而只是廉价
的工业品而已。

在此,我依然引用了这句话,是因为在乐理方面,我认为这句话完全正确,也许这才是
莱布尼兹的本意也不得而知。

一.唱名与音名
在讨论数学之前,先介绍一点点音乐的基础知识。首先,我假设每个人都知道 “do,
re,mi,fa,sol,la,si”这七个唱名,从来都没听说过这些唱名的同学,建议先看
一部电影叫做《音乐之声》(《the sound of music》)。接下来我们还需要知道“C,
D,E,F,G,A,B”七个音名。音名实际上是给某些特定音高(不是音量)起的名字,这些
音高和音名的关系是固定的。因为音高是由物体振动的频率决定的,所以实际上音名对
应的是频率,比如说音名A4对应的频率是440Hz(赫兹)。您可能会问A是音名,4是什
么意思?非常好的问题,稍后公布答案。唱名就是我们试唱时候的发音,在唱歌词之前
,我们一般用唱名唱出旋律,比如“do,re,mi”,如果您要是听谁唱“ABCDEFG,”那不
是在用音名唱,那是在唱字母歌。

至于音名和唱名有什么关系,也许您已经知道了答案;即使没有答案,也可以猜一下,
既然音名唱名都是七个,那就按顺序一一对应呗,C唱作do,D唱作re,……,A唱作la
,B唱作si,这个答案不完全正确,但是对了一大半。如果您习惯用绝对唱名法,那么
这个答案完全正确,这七个音名和七个唱名的关系是固定的,学钢琴的朋友应该是更习
惯于这种唱名法,因为钢琴每个键所对应的音高是固定的,变调通常意味着变指法而不
是变每个键的音高。即使您习惯首调唱名法,在C调的时候,这个对应也是正确的,至
于不是C调的时候,也不难理解,请您接着看。


二. 自然大调(注1)和MM函数M(x)

首先,此MM非彼MM,此MM是Math和Music的缩写。其次,MM函数是一个离散周期函数,
定义域是全体整数,值域是12个元素的集合,周期为12。因为是周期函数,我们只需要
这个函数在一个完整的周期上的定义,然后就可以把它扩展到整个定义域。在不失普遍
性的前提下,让我们用1到12作为样本周期。首先我们先部分定义这个函数,考虑这个
周期定义域的子集{1,3,5,6,8,10,12},和集合{C,D,E,F,G,A,B},让我们按顺序建立一
一对应,即有
M(1)=C, M(3)=D, M(5)=E, M(6)=F, M(8)=G, M(10)=A, M(12)=B
数列2,2,1,2,2,2,1给出了这个定义域子集里相邻两个元素的差,最后一个1是最后一个
元素12和下一个周期开始的元素13之间的差,这个数列非常重要,所以我们给它起个名字
叫大调音程数列。
定义2.1 数列 2,2,1,2,2,2,1 被称做大调音程数列。
定理2.2 假设 a_1,a_2,……,a_8 是8个按照升序排列的不同整数。如果a_2-a_1,a_3-
a_2,a_4-a_3,……,a_8-a_7 构成大调音程数列,那么数列a_1,a_2,…… a_8被称作
大调音阶数列。而它们的像
M(a_1)=M(a_8), M(a_2), M(a_3), ……, M(a_7)
按顺序形成一个(自然)大调。

我们现在有两个名词大调音程数列和大调音阶数列,前者是一个含有七个数字的固定数
列,而后者是满足特定关系的八个数字,可以始于任何整数。这个定理十分简单,如果
你想得到一个大调(一组大调音阶),只需构造一组大调音阶数列,这个数列在MM函数
下的像就是一组大调音阶。

例2.3 从1开始的大调音阶数列是1,3,5,6,8,10,12,13,它的像是C,D,E,F,G,A,B,这七
个音名,组成一组大调音阶。大调音阶数列里有八个数,但是大调音阶只有七个是因为
MM函数是周期为12的函数,而在大调音阶数列里第一个数和第八个数相差一个整周期,
所以它们的像是相同的。

定理2.2适用于始于任何整数的大调音阶数列,但是我们现在还不能任意的使用这个定理
,因为我们还没有完全定义MM函数,现在就让我们来补全这个定义。也就是2,4,7,9,11
的在M(x)下的像。M(1)=C,M(3)=D,让我们把M(2)定义为在C和D之间,正中间,取C与D
的平均值,记为C#或者Db,读作升C或者降D,虽然是两个记号,但是却对应同一个值,
因此M(x)还是一个函数。我们可以定义M(4)=D#或Eb,因为M(3)=D而M(5)=E;相似的,
定义M(7)=D#或Eb,M(9)= G#或Ab,M(11)= A#或Bb。在周期1到12上,我们有了MM函数
地完整的定义,让我们复习一下
M(1)=C,
M(2)=C#或Db,
M(3)=D,
M(4)=D#或Eb,
M(5)=E,
M(6)=F,
M(7)=F#或Gb,
M(8)=G,
M(9)=G#或Ab,
M(10)=A,
M(11)=A#或Bb,
M(12)=B
因为MM函数的周期性,我们可以将这个定义拓展到整个整数集,比如M(13)=M(1)=C, M(
99)=M(3)=D, M(-4)=M(8)=G。实际上我们有如下性质。
性质2.4 如果x,y都是整数,M(x)=M(y)当且仅当 x≡y mod 12。也就是说如果两个整数
除以12的余数相同,那么它们在MM函数下的像也相同,反之亦然。
现在我们可以对任意大调音阶数列使用定理2.2了,并且我们可以推导出所有大调。

例2.5 从8开始的大调音阶数列为8,10,12,13,15,17,19,20,由这个数列所得到大调音
阶为
M(8)=G,M(10)=A,M(12)=B,M(13)=C,M(15)=D,M(17)=E,M(19)=F#。

在例2.3里我们得到了另外一个大调,“C,D,E,F,G,A,B”。为了区别于例2.5中的大调
“G,A,B,C,D,E,F#”,我们给每个大调都起了名字,命名方式很简单,就是每个大调的
首个音名。所以“C,D,E,F,G,A,B”就是C大调(音阶),而“G,A,B,C,D,E,F#”就是
G大调(音阶)。

例2.6 降B(Bb)大调由哪些音阶组成?
首先我们需要找出Bb任意的一个原像,我这里使用11。构造大调音阶数列,
11,13,15,16,18,20,22,23
这组数列在MM函数下的像“Bb,C,D,Eb,F,G,A”组成了降B大调。我们可以用D#代替Eb,
也可以用A#代替Bb,那么我们是不是也可以称这个大调为升A大调呢?理论上是的,升A
大调和降B大调的所有音阶都是完全一样的音高,但是实际当中我们不使用升A而只用降
B。

因为MM函数的周期是12,也因为MM函数的值域里只有12个值,所以一共只有12个大调,
分别是C,升C(降D),D,降E,E,F,升F(降G),G,降A,A,降B,B(降C)。这里面有三对
大调音阶都一样,但是名称不一样,被称作同音异名。

所谓首调唱名法,就是不论什么调都把第一个音阶唱作“do”,第二个音阶唱作“re”,
以此类推,比如上面的降B大调,用首调唱名法,就是把Bb唱作“do”,C唱作“re”,D
唱作“mi”,……,G唱作“la”,A唱作“si”。有时候乐谱上有“1=D”意思就是D调,
使用首调唱名法。

三.音程和十二音律

大调音程数列2,2,1,2,2,2,1不但揭示了原像---大调音阶数列各项之间的相互关系,更
重要的是也定义了所有大调音阶之间的关系。音名实际上是特定音高的名称,如果两个
音的音高不一样,我们管它们之间的距离叫做音程。既然音高的单位是振动频率赫兹,
那我们用赫兹来衡量音程就可以了吧?答案是否定的,这是因为虽然音高与振动频率成
正比列关系,但不是线性关系。比如让你听一个振频1000赫兹的音和一个振频1100赫兹
的音,你会觉得第二个音比第一个音高一些,但是如果让你听一个振频100赫兹的音和
一个振频200赫兹的音,你会觉得第二个音比第一个音高很多。所以让我们引入全音和
半音的概念来量化音程。一个全音等于两个半音,而半音是音阶之间的最小音程。大调
音程数列实际上是告诉我们在大调音阶中相邻两个音阶的音程。比如C大调音阶,“C,D
,E,F,G,A,B,C”它们之间的音程关系是2,2,1,2,2,2,1(个半音),也就是说C和D之间相
差两个半音,D和E之间也相差两个半音,E和F之间相差一个半音,……,B和C之间也是
差一个半音。如果用全音和半音来总结的话,就是“全全半全全全半。”



从附图我们可以看出,在钢琴键盘上的任意两个相邻键(包括黑键)之间的音程都是半
音。E和F之间没有黑键,因为它们之间的音程本来就是半音,插不进别的音了,同理B
和C之间也没有黑键。除了这两组白键之间没有黑键,其他任意两个相邻白键间的音程
都是一个全音,因此都可以再插入一个黑键。而升号就是加一个半音,降号也就是减一
个半音,因此所有黑键都有两个音名---它左边的白键音名加升号或者右边的白键音名
加降号。

在“C,D,E,F,G,A,B,C”这组音阶中的第一个和最后一个C虽然音名是一样的,但它们对
应的键盘不一样,他们的原像也不一样,相差12,而这两个C之间的音程也是12个半音
,有时为了区别它们,就给它们加上数字,如果第一个C是C1,那第二个C就是C2,如果
第一个C是C4,,那第二个C就是C5(注2)。特别是C4,指的是钢琴键盘中最中央的那个C
,称作中央C,而本文开头提到的A4,就是C4往右数第一个A。

在音乐术语里,两个相差12个半音有着相同音名的音被称作相差八度,而它们的振动频
率是1:2的关系,也就是说A4是440赫兹,A5就是880赫兹,而A3是220赫兹。那么就引出
一个数学问题,怎么把八度音程平均分为12个相等的音程---半音。

这虽然是个数学问题,但是在音乐史上有着非常重要的地位,这个问题的答案被称为十
二平均律。首先八度音程就频率而言不是一个常数,因此把八度音程除以12是不可行的
。而且我们可以看到从A3到A4振频增加220赫兹,而从A4到A5振频增加440赫兹,在不同
的频率区间,对于相同音程所对应的频率是不同的。我们寻求的不是一个数值,而是一
个对于任意给定音高,求出比它高半音或是低半音的音高频率的方法。

十二平均律对应的数学问题是,假设我们有一个有十三项的正等比数列,1,r,r^2,r^3,
……, r^12=2,求r。很显然r=2^(1/12),大约是1.059463,这个r揭示了十二平均律,
也就是说如果有一个音Y,频率为H,那么频率为Hr的音比Y高半音,频率为H/r的音比Y
低半音。

这道题对音乐家来说并不是简单的题,特别是在几百年甚至上千年以前,数学知识不像
现在这么丰富和普及,能解决这个问题的人在当年都可以称得上是数学家,实际上他们
也都是数学家。

第一个有记载的十二平均律数列是由南朝的何承天给出的,他的第一职业是数学家,计
算过圆周率,不过只算出小数点后第二位;第二职业是天文学家,被祖冲之修改的历法
就是他提出的;他还是史学家和思想家,再后来还被北宋有名的文艺昏君宋徽宗赵佶封
为了侯爵,可他真不是音乐家。也许何承天不懂音律,不会作曲,但对他来说,十二平
均律这件事就是一数学问题。他给出的数列是 
900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450
可能您奇怪这个数列怎么是从高音到低音排列的,其实这个也是从低音到高音,因为这
些数字代表的不是频率而是长度。这里又牵扯到一个物理问题,就是怎么改变音高(频
率)的问题。通常我们用下面三种方式改变音高(频率)。
a.  改变长度。长度和频率(音高)成反比。与频率是线性反比。
一个例子是吉他演奏,当吉他手的手指从同一弦的二品滑向三品的时候,就是通过改变
(有效)弦长来改变音高。另外风铃也是很好的例子,很多风铃由粗细,材料一样但长
短不一的金属管组成,风一吹,同样的物体敲击在不同的金属管上发出不同音高的声音。
b.  改变张力。张力与频率(音高)的平方成正比。
例子还是吉他,在演奏之前,吉他手调弦的时候,就是通过改变琴弦张力来调整音高。
其他弦乐器,包括小提琴,琵琶,二胡,等等都是这个原理调弦。
c.  改变密度。密度与频率(音高)的平方成反比。
最常见的一个例子是在中小学课堂里,有学生用几个灌着水的酒瓶演奏乐曲,当然瓶子
里的水量是不一样的,实际原理就是改变每个瓶子的平均密度。现在我们知道,要想让
这些瓶子形成一个大调,我们可以利用十二平均律去计算每个瓶子所需的水量。
在何承天给出的这个数列里,是通过改变长度的方法改变音高。由于线性反比例关系,
从长度的变化我们可以很容易的算出频率变化。首先这个数列里的第一长度是900,最
后一个是450,它们的频率之比是1/900比1/450,是八度音程的频率之比1:2。第一个长
度是900,第二个是849,它们的频率之比是900/849,约等于1.06007,前文提到对给定
的一个音,音高提高半音,就是频率乘以常数2^(1/12),大约是1.059463,我们可以看
到何承天数列里前两个数字之间关系非常接近于这个数字;再往后第二个和第三个长度
对应的频率比是849/802,大约为1.0586也是十分接近2^(1/12),读者可以自己计算其
他相邻数字之间的关系,虽然何承天没有明确发现十二平均律,但是这个数列确实非常
接近了。

此外,我们的老祖先还发明了一种可以制造出十二个相隔半音的音阶的方法叫做三分损
益法,原理也是通过长度的改变来调整音高。首先找到一根竹管,记好音高和长度,如
果你把这根竹管削去三分之一,那么它的音高比原来的音高高出7个半音,也叫纯五度
,如果你把它延长三分之一,那么它的音高比原来的音高低5个半音,也叫纯四度。根
据长度与频率的关系,如果长度变为原来的三分之二,那么频率是原来的1.5倍,根据
十二平均律,相差7个半音,可以用原先的频率乘以2^(7/12),约为1.4983,非常接近1
.5。如果降低5个半音,那应该是除以2^(5/12),大概是1.33484,而延长三分之一长度
实际上相当于除以4/3,约为1.333333,也是非常接近。根据《史记》的记载,古人是
这么做的,首先取一竹管长为81,音高称作黄钟;再取一竹管,使其长度为81×2/3=54
,音高被称为林钟;再取一竹管,使其长度为54×4/3=72,音高称为太簇;下一根竹管
则长72×2/3=48,如此反复,便可得到12音阶。现在认为黄钟对应的是音名C,那么比
它高出7个半音的林钟就是G,而太簇就是D了,因为八度是十二个半音,所以仅就音名
而言,高出7个半音和降低5个半音,所得到的音名是一样的,所以我们可以认为音名每
次都是增高了纯五度(7个半音)。下面是由三分损益法按顺序推出的音阶以及对应的C
调音名。

黄钟 林钟 太簇 南吕 姑冼 应钟  蕤宾   大吕  夷则  夹钟  无射  仲吕 清黄钟  
C     G    D    A    E   B  F#\Gb   C#\Db   G#\Ab   D#\Eb  A#\Bb  F    C  

如果按照音高顺序排列,应该是黄钟,大吕,太簇,夹钟,姑洗,仲吕,蕤宾,林钟,
夷则,南吕,无射,应钟,称为十二律,注意不是十二平均律。有一个成语叫做“黄钟
大吕,”也由此十二律而来。

上表中的对应只是一个差不多的对应,并不精确。如果这是十二均分八度,那么清黄钟
的长度应该是黄钟的一半,可实际如果黄钟长81的话,由三分损益法所得的清黄钟长度
大约为39.955,不足一半。在何承天的数列里,虽然首尾两项是2:1的关系,但是数列
中相邻两项之比并非常数。音程还有一个比半音更小的单位,音分,一个半音是一百音
分。一般人很难听出几个音分的差距,所以何承天的数列和三分损益法得到的音阶可以
基本满足需要,但是对于音乐家来说,这些就不够精确了。

十二平均律可以说是音律学上最重要的发现,也是音乐史上一次革命性的突破,当然这
次突破让音律学家们等待了千年之久。值得自豪的是,第一个发现十二平均律的也人是
一位炎黄子孙---明万历年间的朱载堉。从他的姓氏我们可以猜测他的皇家血统,朱载
堉是朱元璋八代孙,郑恭王朱厚烷之子。身为王子的他却并非一直锦衣玉食,十五岁那
年,其父朱厚烷因上书谏言痴迷于道教和不老仙丹的明世宗朱厚熜,被贬为庶人后囚禁
了起来,此后朱载堉一个人住在一个土房里十九年专心于音律学,历学,舞学等的研究
。世宗去世后,其父得以平反,朱载堉也恢复王子身份,但当其父去世时,他执意不承
袭爵位,甘愿去过一个清贫学者的生活。

正史朱载堉这种甘于寂寞的治学方式解决了音乐史上最重要的问题---十二平均律。我
们知道,2^(1/12)是一个无理数,是无限不循环小数,朱载堉在推算出这个比率以后,
还用特大算盘算出了一个近似值1.059463094359295264561825,具有25位有效数字,用
朱载堉给出的比率算出的音阶与理论值的差距在任何苛刻的要求下都可以完全忽略不计
。即使在现代,在不依靠电子设备的条件下,单单计算2^(1/12)到小数点后25位也是一
项十分艰苦的工作,凭借此项工作,朱载堉当之无愧的被称作“律圣”。

四.小调与和弦
其实前面说了半天,就是说有十二个音名,每两个之间都是半音关系,而且无限循环。
所谓大调就是从里面挑出7个,使得它们之间的音程关系满足“2,2,1,2,2,2,1”或者“
全全半全全全半。”小调与大调非常的相似,唯一不同的是这七个音名间的关系不再是
“全全半全全全半”而是“全半全全半全全。” 我们也可以相似的定义小调音程数列
“2,1,2,2,1,2,2”,再构造小调音阶数列,然后考虑在MM函数下的像。
定义4.1 数列 2,1,2,2,1,2,2 被称做小调音程数列。
定理4.2 假设 a_1,a_2,……,a_8 是8个按照升序排列的不同整数。如果a_2-a_1,a_3-
a_2,a_4-a_3,……,a_8-a_7 构成小调音程数列,那么数列a_1,a_2,…… a_8被称作
小调音阶数列。而它们的像
M(a_1)=M(a_8), M(a_2), M(a_3), ……, M(a_7)
按顺序形成一个小调。
小调的命名方式与大调一样,都是以第一个音阶的音名命名。
例4.3  因为M(1)=C,所以一个C小调音程数列是,“1,3,4,6,8,9,11,13”。它们的像
“C,D,D#/Eb,F,G,G#/Ab,A#/Bb,C”构成了C小调音阶。
例4.4  因为M(10)=A,所以一个A小调音程数列是,“10,12,13,15,17,18,20,22”。它
们的像“A,B,C,D,E,F,G,A”构成了A小调音阶。
通过例4.4我们可以看出A小调里面出现的音名和C大调里面出现的音名完全一样,只是
顺序不同,所以我们称A小调是C大调的关系小调。十二个小调和十二个大调之间是一
一对应的,每个大调都有且只有一个关系小调,而每个小调都是一个大调的关系小调。
小测试:C小调的是哪个大调的关系小调?
 
和弦的种类有很多,但不管哪一种,都和大小调一样由几个有特定音程关系的音组成。
这里我就简单介绍一下由三个音组成的三和弦吧。
我们知道十二个半音是八度,其实对于任何数量的半音都可以用度来表示,前面我们见
过了纯五度和纯四度,对于三和弦来说,一定要知道大三度和小三度,大三度就是4个
半音的音程,而小三度就是3个半音的音程,这也是为什么我们管这些和弦叫三和弦,
并非因为有三个音,有四个音的和弦不是四和弦而是七和弦。

下面是一道排列组合问题,假设我们有三个音,相邻的两个音之间的关系不是大三度就
是小三度,那么有几种可能的组合呢?答案是四种,大三度+大三度,大三度+小三度,
小三度+大三度,小三度+小三度。因此三和弦也是有四种,分别叫做增三和弦(大三度
+大三度),大三和弦(大三度+小三度),小三和弦(小三度+大三度),减三和弦(
小三度+小三度)。需要注意的是不管是大三度+小三度还是小三度+大三度都等于纯五
度,而不是3+3=6度这么简单。

其中大三和弦与小三和弦是最为常见的,它们都是由三个音中的最低的那个音名(称为
根音)来命名,如果是小三和弦,在此音名后再加一个小写的m。

例4.5 C和弦是大三和弦(名称里没有m),由“do mi sol”这三个音组成,其中“do”
是根音,这也是为什么被称为C和弦,“mi”叫做三音,因为与根音是三度关系,“sol
”叫做五音,因为与根音是五度关系。“do”和“mi”之间是4个半音也就是大三度,
而“mi”和“sol”之间是三个半音(“fa”和“sol”之间只有一个半音),也就是小
三度。

例4.6 Cm和弦是小三和弦(名称里有m),由“do,升re/降mi,sol”组成。其中“do”
是根音,这也是为什么被称为Cm和弦,“升re/降mi“是三音,“sol”是五音。“do”和
“升re/降mi”之间是3个半音也就是小三度,而“re#/mib”和“sol”之间是四个半音也
就是大三度。

五.结束语
佛语有云“空即是色,色即是空。”音乐和数学这一对看似感性和理性的矛盾在乐理上
实现了统一。
数学是理性的音乐,音乐是感性的数学。
                                                           ---J.西尔维斯特

注:在本文中所提到的大调与小调均为自然大调与自然小调,此外还有和声大调,和声
小调,旋律大调和旋律小调,它们与自然小调和大调一样都是由特定音程关系的音组成。
注1:大调是自然大调的默认简称。
注2:此为科学音调记号法,请勿与国际第一音高记号法混淆。





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醉里笑 柳岩胸小,芙蓉脸薄; 梦中骂 韩寒才浅,德纲不fun。

※ 修改:·cucuwning 於 Apr  1 08:09:35 2013 修改本文·[FROM: 72.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 72.]

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发信人: bluebel (蓝贝), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  1 13:29:35 2013, 美东)

我知道我为什么数学没学好了,因为我从小音乐就没学会,唉~~~
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※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 192.]

 
cucuwning
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发信人: cucuwning (cucuwning), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  1 16:32:53 2013, 美东)

哈哈,贝版mitbbs十大歌手之一,还这么谦虚,真是令人敬仰。


【 在 bluebel (蓝贝) 的大作中提到: 】
: 我知道我为什么数学没学好了,因为我从小音乐就没学会,唉~~~



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醉里笑 柳岩胸小,芙蓉脸薄; 梦中骂 韩寒才浅,德纲不fun。

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triblue
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发信人: triblue (blue), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  1 20:41:32 2013, 美东)

我也终于知道我为什么是乐盲,因为从小就学不好数学, 同唉⋯⋯
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summerwind
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发信人: summerwind (夏风), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  1 22:05:51 2013, 美东)

这篇文章真是让我茅塞顿开,作为一个数学系的差生和半吊子的音乐爱好者,自小学时
候脑子里就有过的对乐理的一系列为什么,终于有了清晰的答案。看完以后还有俩问题:
1)不同音调的频率之间是幂关系,这是个很牛的发现啊,这个模型是怎么建立出来的?
2)乐理中除了大三,小三,增三,减三,还有一系列乱七八糟的和弦,譬如说属7和弦
,譬如C-aug, C-dim, C-sus4, C7, C6, C-add9等等,这都是音乐家凭耳朵的愉悦程度
发明出来的?有数学背景么?
--

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cucuwning
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发信人: cucuwning (cucuwning), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  1 22:06:00 2013, 美东)

是不是版上有 smurf 家族啊?都这么蓝?还都这么谦虚。


【 在 triblue (blue) 的大作中提到: 】
: 我也终于知道我为什么是乐盲,因为从小就学不好数学, 同唉……



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bluebel
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发信人: bluebel (蓝贝), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  1 22:52:16 2013, 美东)

啊呀!我摊上事儿啦!我摊上大事儿啦!!我一不留神跟明星撞衫啦! :))))

歪哥肯定认错人了,那个不是我。我不识谱的 :)

【 在 cucuwning (cucuwning) 的大作中提到: 】
: 哈哈,贝版mitbbs十大歌手之一,还这么谦虚,真是令人敬仰。






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※ 修改:·bluebel 於 Apr  2 00:43:54 2013 修改本文·[FROM: 108.]
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cucuwning
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发信人: cucuwning (cucuwning), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  1 23:01:57 2013, 美东)

第一个问题我也不知道答案,实际上频率和音高这个关系才是十二平均律的根本。

第二个问题,有物理背景,也算是数学背景,几个音在一起和不和谐与它们的频率比有
关,大三和弦的频率比是4:5:6,而小三和弦是10:12:15,大三和弦更和谐一些是因为
根音的三倍频率是五音的二倍频率,根音的五倍频率是三音的四倍频率,更容易产生谐
波,相比之下小三和弦产生谐波就难一些。

七和弦是四个音三度叠加组成,也可以考虑它们的频率比,我不知道最早是音乐家听出
来的,还是物理学家推出来的,但是相互可以验证,如果七和弦和最后一个音不是七度
,那就会很不和谐,不管是从频率的角度还是听觉的角度。


【 在 summerwind (夏风) 的大作中提到: 】
: 这篇文章真是让我茅塞顿开,作为一个数学系的差生和半吊子的音乐爱好者,自小学时
: 候脑子里就有过的对乐理的一系列为什么,终于有了清晰的答案。看完以后还有俩问
题:
: 1)不同音调的频率之间是幂关系,这是个很牛的发现啊,这个模型是怎么建立出来
的?
: 2)乐理中除了大三,小三,增三,减三,还有一系列乱七八糟的和弦,譬如说属7和弦
: ,譬如C-aug, C-dim, C-sus4, C7, C6, C-add9等等,这都是音乐家凭耳朵的愉悦程度
: 发明出来的?有数学背景么?



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zoelee
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发信人: zoelee (zoelee), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Apr  3 09:07:19 2013, 美东)

怎么解释数学不好但是天生识譜的现象?

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发自Android MITBBS阅览器 7.7
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cuoolongtea
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发信人: cuoolongtea (四有新人), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Apr  4 08:02:42 2013, 美东)

我晕菜了。
--

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cucuwning
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发信人: cucuwning (cucuwning), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Apr  4 18:11:00 2013, 美东)

哈哈,这个不用解释,其实作为歌手也是,乐手也好,作曲也好,都不用懂数学的,识
谱就是建立一种音符和音高之间的对应关系,数学解释的是why,不是how,how就是多听
形成记忆。天生就会的可能是对音高比较敏感,一点音程变化都能察觉的。


【 在 zoelee (zoelee) 的大作中提到: 】
: 怎么解释数学不好但是天生识譜的现象?




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醉里笑 柳岩胸小,芙蓉脸薄; 梦中骂 韩寒才浅,德纲不fun。

※ 修改:·cucuwning 於 Apr  4 18:11:40 2013 修改本文·[FROM: 70.]
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cucuwning
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发信人: cucuwning (cucuwning), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Apr  4 18:18:48 2013, 美东)

哈哈,贝版,其实我就知道你这么一个歌手,我也没见谁和你穿的一样。上次你发给我
的歌,唱得很好,音乐是表达感情的工具,那么真切的感情让声音和旋律都变成了浮云。

你可能从我的字里行间里也能看出,我当时处在一个很痛苦的低谷中,也反应在我的文
字里(3L的时候),你给我听的歌让我一下心情好了很多,是我听到地最动听的歌了。





【 在 bluebel (蓝贝) 的大作中提到: 】
: 啊呀!我摊上事儿啦!我摊上大事儿啦!!我一不留神跟明星撞衫啦! :))))
: 歪哥肯定认错人了,那个不是我。我不识谱的 :)



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醉里笑 柳岩胸小,芙蓉脸薄; 梦中骂 韩寒才浅,德纲不fun。

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bluebel
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发信人: bluebel (蓝贝), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Apr  4 21:18:36 2013, 美东)

好感动啊,谢谢你抬举我哈 :)
咱俩有那么多共同的东西,费城和名字,呵呵。有机会遇到的话,一定要向你讨教数理
和乐理的 :)
【 在 cucuwning (cucuwning) 的大作中提到: 】
: 哈哈,贝版,其实我就知道你这么一个歌手,我也没见谁和你穿的一样。上次你发给我
: 的歌,唱得很好,音乐是表达感情的工具,那么真切的感情让声音和旋律都变成了浮
云。
: 你可能从我的字里行间里也能看出,我当时处在一个很痛苦的低谷中,也反应在我的文
: 字里(3L的时候),你给我听的歌让我一下心情好了很多,是我听到地最动听的歌了。



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ChengCH
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发信人: ChengCH (城城), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Apr  5 10:25:59 2013, 美东)

TOO COW

【 在 cucuwning (cucuwning) 的大作中提到: 】
: 第一个问题我也不知道答案,实际上频率和音高这个关系才是十二平均律的根本。
: 第二个问题,有物理背景,也算是数学背景,几个音在一起和不和谐与它们的频率比有
: 关,大三和弦的频率比是4:5:6,而小三和弦是10:12:15,大三和弦更和谐一些是因为
: 根音的三倍频率是五音的二倍频率,根音的五倍频率是三音的四倍频率,更容易产生谐
: 波,相比之下小三和弦产生谐波就难一些。
: 七和弦是四个音三度叠加组成,也可以考虑它们的频率比,我不知道最早是音乐家听出
: 来的,还是物理学家推出来的,但是相互可以验证,如果七和弦和最后一个音不是七度
: ,那就会很不和谐,不管是从频率的角度还是听觉的角度。
: 题:
: 的?
: ...................

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谁的歌 谁轻唱 谁在听 谁笑 谁心痛


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schiele
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发信人: schiele (Madame von Meck), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Apr  5 19:39:16 2013, 美东)

老大,这已经是歪写歪写数学史了!
先上图,等会儿吃过饭再来问问题。


【 在 cucuwning (cucuwning) 的大作中提到: 】
: 第一个问题我也不知道答案,实际上频率和音高这个关系才是十二平均律的根本。
: 第二个问题,有物理背景,也算是数学背景,几个音在一起和不和谐与它们的频率比有
: 关,大三和弦的频率比是4:5:6,而小三和弦是10:12:15,大三和弦更和谐一些是因为
: 根音的三倍频率是五音的二倍频率,根音的五倍频率是三音的四倍频率,更容易产生谐
: 波,相比之下小三和弦产生谐波就难一些。
: 七和弦是四个音三度叠加组成,也可以考虑它们的频率比,我不知道最早是音乐家听出
: 来的,还是物理学家推出来的,但是相互可以验证,如果七和弦和最后一个音不是七度
: ,那就会很不和谐,不管是从频率的角度还是听觉的角度。
: 题:
: 的?
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cucuwning
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发信人: cucuwning (cucuwning), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Apr  6 10:36:27 2013, 美东)

哈哈,怕怕。

谢谢贴图,能加上点说明就更好了。
【 在 schiele (Madame von Meck) 的大作中提到: 】
: 老大,这已经是歪写歪写数学史了!
: 先上图,等会儿吃过饭再来问问题。



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醉里笑 柳岩胸小,芙蓉脸薄; 梦中骂 韩寒才浅,德纲不fun。

※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 72.]

 
bluebel
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发信人: bluebel (蓝贝), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon May 20 23:28:36 2013, 美东)

等着看下个你八谁呢,怎么好久不更新了? :)
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sukye
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发信人: sukye (勤奋的小苏●书鱼), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 16 14:17:49 2019, 美东)


讲的有点简单啊。。

【 在 cucuwning (cucuwning) 的大作中提到: 】
: 这章是挂羊头卖狗肉的一章,里面有数学,有历史,有歪写,先把它放这儿,下一章回
: 归科学家系列。
: 零.引子
:                     音乐是形而上学的数学练习。
:                                                   ---莱布尼兹

: 我知道大部分读者是理工科出身,一提起哲学就是马克思主义哲学,一提起形而上学就
: 是“辩证法”的对立面。大学里的哲学课(若干年前),除了马哲,还有毛泽东思想和
: 邓小平理论,但它们都是马克思主义哲学和中国社会实践结合的产物。我可以很负责的
: 说一句,哲学不止马哲这一种,形而上学也并非就是孤立静止片面地看问题。莱布尼兹
: ...................



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NuGet
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发信人: NuGet (), 信区: Prose
标  题: Re: 歪写数学史(21)浅谈乐理中的数学
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 16 20:58:27 2019, 美东)


问题是,为什么非得是12音律,可以不可以有音乐是是基于13,14,15音律的。如果
非要说人类的耳朵只觉得基于12音律的音乐可以听,那么为什么?是自古的习惯习俗
还是有其他形而上的原因。

离了这个问题,就假设就该如此,说a就是b, b就是a,是没有实际意义的话。


【 在 cucuwning (cucuwning) 的大作中提到: 】
: 这章是挂羊头卖狗肉的一章,里面有数学,有历史,有歪写,先把它放这儿,下一章回
: 归科学家系列。
: 零.引子
:                     音乐是形而上学的数学练习。
:                                                   ---莱布尼兹

: 我知道大部分读者是理工科出身,一提起哲学就是马克思主义哲学,一提起形而上学就
: 是“辩证法”的对立面。大学里的哲学课(若干年前),除了马哲,还有毛泽东思想和
: 邓小平理论,但它们都是马克思主义哲学和中国社会实践结合的产物。我可以很负责的
: 说一句,哲学不止马哲这一种,形而上学也并非就是孤立静止片面地看问题。莱布尼兹
: ...................



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